Square formula फॉर्मूला

एक वर्ग ज्यामिति में सबसे बुनियादी और अक्सर आवर्ती आकृतियों में से एक है। हम सभी जानते हैं कि यह एक ऐसी आकृति है जहां चारों भुजाएं बराबर होती हैं। लेकिन क्या आप महत्वपूर्ण वर्ग सूत्र जानते हैं? वास्तव में केवल एक वर्ग सूत्र नहीं है, बल्कि क्षेत्रमिति में कई महत्वपूर्ण सूत्र हैं। चलो एक नज़र डालते हैं।

एक वर्ग का परिचय

आकृति, वर्ग से हम सभी परिचित हैं। यह एक ऐसा चतुर्भुज है जिसमें इसकी चारों भुजाएँ और कोण बराबर होते हैं। सभी चारों कोण 90 डिग्री के हैं, अर्थात समकोण हैं। आप वर्ग को एक आयत के विशेष मामले के रूप में भी मान सकते हैं जहाँ आप पाएंगे कि दो आसन्न भुजाएँ समान लंबाई की हैं। इस लेख में, हम मुख्य रूप से इसके क्षेत्रफल, परिधि, लंबाई जैसे विभिन्न वर्ग सूत्रों पर ध्यान केंद्रित करेंगे। विकर्ण और उदाहरण।

एक वर्ग का क्षेत्रफल = a²

एक वर्ग का परिमाप =4a

एक वर्ग का विकर्ण=a√2

जहाँ ‘a’ वर्ग की एक भुजा की लंबाई है।

एक वर्ग के गुण

एक वर्ग की चारों भुजाओं की लंबाई बराबर होती है।

दो विकर्ण एक दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं, अर्थात 90°

एक वर्ग के विकर्णों की लंबाई बराबर होती है।

वर्ग सूत्र की व्युत्पत्ति

एक वर्ग के क्षेत्रफल की व्युत्पत्ति

अवधारणा की अपनी समझ को बेहतर बनाने के लिए, आइए हम एक वर्ग के क्षेत्रफल की व्युत्पत्ति पर एक नज़र डालें। आइए हम एक ऐसे वर्ग पर विचार करें, जिसकी भुजा की लंबाई क्रमशः ‘a’ इकाई हो और विकर्ण क्रमशः ‘d’ इकाई हो। जैसा कि आप सभी जानते हैं कि एक वर्ग का क्षेत्रफल वह क्षेत्र होता है जो उसकी सीमा के भीतर घिरा होता है। जैसा कि हमने पहले ही उल्लेख किया है कि एक वर्ग एक आयत का एक विशेष मामला है जिसकी दो आसन्न भुजाएँ समान लंबाई की होती हैं। अतः क्षेत्रफल को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है –

आयत का क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई

वर्ग का क्षेत्रफल = लंबाई x चौड़ाई

वर्ग का क्षेत्रफल = a× a = = a²

एक वर्ग के परिमाप की व्युत्पत्ति

वर्ग की परिधि उसकी सीमा की कुल लंबाई है। एक वर्ग की सीमा को सभी भुजाओं की लंबाई के योग द्वारा दर्शाया जाता है। अतः परिमाप को इस प्रकार व्यक्त किया जाता है –

एक वर्ग का परिमाप = 4 भुजाओं की लंबाई

एक वर्ग का परिमाप = a+ a + a + a = 4a

एक वर्ग के विकर्ण की लंबाई की व्युत्पत्ति

जैसा कि आप सभी जानते हैं कि विकर्ण एक ऐसी रेखा है जो एक बहुभुज में दो विपरीत भुजाओं को मिलाती है। इसलिए, एक वर्ग की विकर्ण लंबाई की गणना करने के लिए, हम पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हैं। यदि आप वर्ग में एक विकर्ण चिह्नित करते हैं, तो आप पाएंगे कि विकर्ण वर्ग को दो समकोण त्रिभुजों में विभाजित करता है। अब, एक वर्ग की दो आसन्न भुजाओं की लंबाई बराबर है। और समकोण त्रिभुज एक समद्विबाहु त्रिभुज के रूप में कार्य करता है, जिसकी प्रत्येक भुजा की लंबाई ‘a’ इकाई होती है।

इस प्रकार, हम पाइथागोरस प्रमेय को इन त्रिभुजों पर लागू कर सकते हैं जिनमें ‘a’ इकाइयों का आधार और लंबवत् और ‘b’ इकाइयों का कर्ण होता है। तो, हमारे पास सूत्र के अनुसार:

d²=a²+a²

d = √2 ए²

= ए √2 इकाइयां

हल किए गए उदाहरण

अब, जब हमें वर्ग सूत्र की अवधारणा और अर्थ के बारे में कुछ समझ आ गई है, तो आइए हम विषय की अपनी समझ को गहरा करने के लिए कुछ उदाहरणों का प्रयास करें।

उदाहरण 1 – एक वर्ग की भुजा 5 मीटर है। वर्ग का क्षेत्रफल m2 . में क्या है

हल 1 – जैसा कि हम जानते हैं कि а वर्ग की भुजाएँ समान आकार की होती हैं। और वर्ग के क्षेत्रफल का सूत्र a × a है जहाँ a वर्ग की भुजा है। इसलिये,

क्षेत्रफल = 6 मी × 6 मी = 36 मी²

उदाहरण 2 – एक वर्ग का परिमाप 24 सेमी है। वर्ग का क्षेत्रफल कितना है cm2

हल 2 – एक वर्ग का परिमाप 4 × a है, जहाँ a वर्ग की भुजा है

4 × ए = 24

ए = 24 ÷ 4 = 6

क्षेत्रफल = a × a = 6 सेमी × 6 सेमी = 36 सेमी2

उदाहरण 3 – एक वर्ग की भुजा 5 सेमी है। यदि इसकी भुजा को दोगुना कर दिया जाए, तो नए वर्ग का क्षेत्रफल पुराने वर्ग के क्षेत्रफल से कितना गुना बड़ा है?

हल 3 – पहले वर्ग का क्षेत्रफल 5 सेमी × 5 सेमी = 25 सेमी है। नई लंबाई = 5 सेमी + 5 सेमी = 10 सेमी

नए वर्ग का क्षेत्रफल 10 सेमी × 10 सेमी = 100 सेमी2 है। इसलिए, क्षेत्रफल 4 गुना बड़ा है।